過程使課堂更豐滿

論文類別:教育學論文 > 學科教育論文
論文作者: 李玉榮
上傳時間:2013/1/30 9:26:00

  [摘要] 新課程的基本理念之一是“課程內容的組織要重視過程,處理好過程與結果的關系,學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程”. 因此,在幾何教學中,教師要重視定理來歷的教學,借以豐富課堂教學內容,培養學生探究、創新能力.本文以“HL”定理為例,供教學參考.
  [關鍵詞] 圖形與證明;“HL”定理;過程
  遵循“重要的數學概念與數學思想要體現螺旋上升”的原則,蘇科版《數學》九年級(上冊)第一章為《圖形與證明(二)》,通覽全章,特色鮮明:知識點似曾相識,而例題極少,每一節安排的內容都是研究定理的證明,凸顯了“讓學生經歷數學知識的形成與應用過程”的理念.教學實踐中,一些教師對教材的安排理解不透,感覺每節課內容太“單薄”,對定理的講解常常一帶而過,取而代之的是大量補充解題應用,錯過了“讓學生更好地理解數學知識的意義”的機會. 其實,一個定理就是一道習題,研究定理的證法,同樣能對學生的解題起到極好的示範與啟示作用,同時也能極大地豐富課堂的容量.本文以“HL”定理為例拋磚引玉,以期與同行們交流.
  《圖形與證明(二)》“1.2直角三角形全等的判定”安排的是證明“HL”定理,學生在八年級曾接觸並使用過“HL”定理,但沒有研究定理的來歷,怎樣證明這個定理呢?
  已知:如圖1,在△ABC和△A′B′C′中,∠ACB=∠A′C′B′=90°,AB=A′B′,AC=A′C′.
  求證:△ABC≌ △A′B′C′.
  證法1:(北師大版教材)
  因為∠ACB=∠A′C′B′=90°,所以BC=,B′C′=.
  又AB=A′B′,AC=A′C′,所以BC=B′C′,所以△ABC≌△A′B′C′(SSS).
  【點評】北師大版教材利用勾股定理計算出第三邊相等,證法簡潔,學生首先想到的也正是這種證法.
  證法2:(蘇科版教材)
  如圖2,把△ABC和△A′B′C′拼合在一起,使AC與A′C′重合,且點B,B′落在AC的兩側,因為∠ACB=∠A′C′B′=90°,所以∠BCB′=180°,即點B,C,B′在一條直線上.因為AB=A′B′,所以∠B=∠B′. 在△ABC和△A′B′C′中,
  ∠B=∠B′,∠ACB=∠A′C′B′,AB=A′B′, 所以△ABC≌ △A′B′C′(AAS).
  【點評】蘇科版教材是利用拼圖法構造等腰三角形來證明的.它不同於常規輔助線的添加,一般使用較少,學生難以想到,且“點B,C,B′在一條直線上”這一步極易忽視.“HL”定理還能用其他方式加以證明嗎?課堂研討就此有了豐富的內容.
   另兩種拼圖

免費論文下載中心 http://www.hi138.com   證法3:如圖3,把△ABC和△A′B′C′拼合在一起,使AB與A′B′重合,且點C,C′落在AB的兩側,連結CC′. 因為AC=A′C′,所以∠AC′C=∠ACC′.
  又因為∠ACB=∠A′C′B′=90°,所以∠BC′C=∠BCC′. 所以BC=B′C′.
  又因為AB=A′B′,AC=A′C′,所以△ABC≌△A′B′C′(SSS).
  證法4:如圖4,把△ABC和△A′B′C′拼合在一起,使點B,B′重合,且點C,B,C′在一條直線上.因為AC=A′C′,AC∥A′C′,所以四邊形ACC′A′為平行四邊形. 所以AA′∥CC′. 所以∠A′AB=∠ABC,∠AA′B=∠A′B′C′.因為AB=A′B′,所以∠BAA′=∠BA′A. 所以∠ABC=∠A′B′C′. 所以△ABC≌ △A′B′C′(AAS).
  【點評】 參照課本拼圖,稍加點撥,學生就會展開思維得到不同的拼圖證法.
   添加輔助線
  
  證法5:如圖5,分別取AB,A′B′的中點D,D′,連結CD,C′D′,則CD=AD=AB,C′D′=A′D′=A′B′. 因為AB=A′B′,所以CD=C′D′,AD=A′D′. 又AC=A′C′,所以△ADC≌△A′D′C′. 所以∠A=∠A′. 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA).
  證法6:如圖6,分別延長AC,A′C′至點E,E′,使EC=AC,E′C′=A′C′,連結BE,B′E′,則BE=AB,B′E′=A′B′,AE=2AC,A′E′=2A′C′.因為AB=A′B′,AC=A′C′,所以BE=B′E′,AE=A′E′. 所以△ABE≌△A′B′E′. 所以∠A=∠A′. 所以△ABC≌△A′B′C′(ASA).
  【點評】添加輔助線應是學生較為擅長的,聯想已學過知識,構造全等三角形得到需要的條件從而解決問題.
   其他拼圖
  
  證法7:如圖7,把△ABC和△A′B′C′拼合在一起,使AC與C′A′重合,且點B,B′落在AC的兩側.因為∠ACB=∠A′C′B′=90°,所以BC∥B′C′. 假設BC≠B′C′,則四邊形B′C′BC是梯形. 又因為AB=A′B′,所以四邊形B′C′BC是等腰梯形. 所以∠B′=∠B′C′B. 這顯然不成立,所以BC=B′C′. 又因為AB=A′B′,AC=A′C′,所以△ABC≌△A′B′C′(SSS).
  
  證法8:如圖8,把△ABC和△A′B′C′拼合在一起,使AB與B′A′重合,且點C,C′落在AB的兩側. 因為∠ACB=∠A′C′B′=90°,所以A,C,B,C′四點共圓.因為AC=A′C′,所以=. 所以∠AA′C=∠A′AC′,所以△ABC≌△A′B′C′(AAS).
  【點評】 這兩種拼圖學生能拼出,但一時難以證出,可告知學生擇機再證.
  定理的作用不僅僅是用來解題,一個定理本身就是一道習題,尤其是一些重要的定理(如勾股定理、三角形中位線定理等)更是難得的好題.日常教學尤其是復習階段,教師應有的放矢、與時俱進地引導學生研究定理的證法,從中獲取解題方法,拓寬解題思路,使定理的功效充分彰顯,也使自己的課堂教學更加豐滿. 免費論文下載中心 http://www.hi138.com
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