對於概率論教學的探索

論文類別:理學論文 > 數學論文
論文作者: 張偉
上傳時間:2012/8/29 8:50:00

     在數学的歷史發展過程中出現了3 次重大的飛躍.第一次飛躍是從算數过渡到代數,第二次飛躍是常量數学到變量數學,第三次飛躍就是從確定數學到隨機數學.現實世界的隨機本質使得各個領域從確定性理論轉向隨機理論成為自然;而且隨機數學的工具、結論與方法為解決確定性数學中的問題開辟了新的途徑.因此可以說,隨機數學必將成为未來主流數學中的亮點之一.概率論作為隨机數學中最基礎的部分,但是教學過程中存在的一個主要問題是:學生們往往已经習慣了確定數學的學習思維方式,認為概率中的基本概念抽象難以理解,思維受限難以展開.這些都使得學生對这門課望而卻步,因此如何在概率论的教學過程中培養学生學習隨機數學的思維方法就顯得十分重要.本文擬介紹我們在該課程教學中的改革尝試,當作引玉之磚.
     1將數學史融入教學課堂在概率論教學過程當中,介紹相關的數學史可以幫助學生更好地認識到概率论不僅是“ 陽春白雪” ,而且還是一門應用背景很強的學科.我們知道概率論中的古典概型要求樣本空間有限,而几何概型恰好可以消除這一條件,這兩種概型學生理解起來都很容易.但是繼而出现的概率公理化定義,学生們總認為抽象、不易接受.為了使學生更好的理解這一概念,我們可以引入幾何概型的一點歷史來介紹為什麽要建立概率的公理化定義,為什麽需要σ 代數.幾何概型是19 世紀末新發展起來的一種概率的計算方法,是在古典概型基礎上進一步的發展,是等可能事件的概念從有限向無限的延伸.1899 年,法國學者貝特朗提出了所謂“ 貝特朗悖論” [3],矛頭直指幾何概率概念本身.這個悖論是:給定一個半径為1 的圓,随機取它的一條弦,問:弦長不小於3 的概率為多大?對於這个問題,如果我們假定端點在圓周上均勻分布,所求概率等於1/3;若假定弦的中點在直徑上均勻分布,所求概率為1/2;又若假定弦的中點在圓內均勻分布,則所求概率又等於1/4.同一个問題竟然會有3 種不同的答案,原因在於取弦時采用了不同的等可能性假定!這3 種答案針對的是3 種不同的隨機試驗,對於各自的隨机試驗而言,它們都是正確的.因此在使用“ 隨機” 、“ 等可能”、“ 均勻分布” 等術語時,應明確指明其含義,而這又因試驗而異.也就是说我們在假定端點在圓周上均勻分布時,就不能考慮弦的中点在直徑上均勻分布或弦的中點在圓內均勻分布所對應的事件.換句話講,我们在假定端點在圓周上均勻分布時,只把端點在圓周上均勻分布所對應的元素看成為事件.
     2 廣泛運用案例教學法.案例與一般例题不同,它有產生問題的實際背景,並能夠為學生所理解.案例教學法是將案例作為一種教學工具,把學生引導到實際問題中去,通過分析和討論,提出解決問題的基本方法和途徑的一種教學方法. 免費論文下載中心 http://www.hi138.com      3 引导學生主動探索.傳統的教學方式往往是教師在課堂上滿堂灌,方法單一,只重視學生知識的積累.教師是教學的主體,側重於教的過程,而忽視了教學是教與學互動的過程.相比較而言,現代教學方法更側重于挖掘學生的學習潛能,以最大限度地發揮及發展學生的聪明才智為追求目標.例如,在給出條件概率的定義以後,我們知道當P(A)>0时,P(B|A)未必等於P(B).但是一旦P(B|A) =P(B),也就說明事件A的發生不影響事件B的發生.同樣當P(B)>0时,若P(A|B) = P(A),就稱事件B的发生不影響事件A 的发生.因此若P(A)>0 ,P(B)>0 ,且P(B|A)= P(B)與P(A|B)= P(A)兩個等式都成立,就意味着這兩個事件的發生與否彼此之間沒有影響.我們可以讓學生主動思考是否能夠如下定義两個事件的獨立性:定義1:設A,B是兩個隨機事件,若P(A)>0 ,P(B)>0,我們有P(B|A)= P(B)且P(A|B)= P(A),則称事件A與事件B相互獨立.接下來,我們可以繼續引導學生仔细考察定義1 中的條件P(A) > 0 與P(B)>0是否為本質要求?因此P(AB) = 0 = P(A)P(B),等式仍然成立.所以我們可以舍去定義1中的條件P(A)>0,P(B)>0,即如下定義事件的独立性:定義2 : 設A , B 為兩隨機事件,如果等式P(AB) = P(A)P(B)成立,則稱A,B為相互獨立的事件,又稱A,B 相互独立.很顯然,定義2 比定義1 更加簡洁.在這個定義的尋找過程中,我們不僅能夠鼓勵學生積極思考,而且可以很好地培養和鍛煉學生提出問題、分析問題以及解決問題的能力,從而體會數學思想,感受數學的美.
     通過實践我們發現,將數學史引入課堂既能讓學生深入了解随機數學的形成與發展過程,又切實感受到隨機数學的思想方法;把案例應用到教學當中以及在課堂上開展隨機試驗可以將概率論基礎知識直觀化,增加課程的趣味性,易於學生的理解與掌握;引導學生主動探索可以強化教與學的互動過程,激发學生用數學思想來解決概率論中遇到的問題.總之,在概率論的教學中,應當註重培養學生建立學习隨機數學的思維方法,通過教學手段的多樣化以及豐富的教学內容加深學生對客觀隨機现象的理解與認識.另外,要以人才培養為本,實現以教師為主導,學生為主體的主客體結合的教學思想,將培養學生實踐能力、創新意識與創新能力的思想落到實處,以期達到學生受益最大化的目標,為學生將來從事經濟、金融、管理、教育、心理、通信等學科的研究打下良好的基礎. 免費論文下载中心 http://www.hi138.com
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