ADF檢驗中滯後長度的選擇——基於ARIMA(0,1,q)過程的模擬證據

論文類別:理學論文 > 統計學論文
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上傳時間:2008/7/20 14:24:00

【摘要】在進行ADF檢驗時如何確定一個最優的滯後長度一直是研究者們關註的問題。最近的研究表明,不同的滯後長度選择方法對ADF檢驗的統計推斷影響很大。本文在已有研究的基礎上,模擬了更為一般的ARIMA(0,1,q)過程,分析了在不同的數據生成過程、檢驗式以及样本容量下,各種滯后長度選擇方法對ADF檢驗功效和實際檢驗水平的影響,最後認為修正的信息準則通常具有較合理的實際檢驗水平,而从一般到特殊法具有更為穩健的ADF檢驗性質。

關鍵詞 ADF檢驗 滯後長度 信息準則 修正的信息準則 從一般到特殊法

Abstract: The optimal lag length in estimating Augmented Dickey-Fuller statistics have been concentrated on for years. Previous research indicated that different leg length selection models affect a lot on the statistical inference of ADF test. Based on all the researches available, this paper simulates a more general ARIMA(0,1,q) process and analyzes the influence of lag length selection criterions to the size and power of the ADF test with different data generating processes, ADF regressions, and sample sizes. Finally, it is proved that the Modified Information Criteria always shows a more proper size and the General to Special Criteria has more robust properties in ADF test.

Keywords: ADF test Lag Length Information Criteria Modified Information Criteria General to Specific

一、引 言

隨著時間序列非平穩問題的提出,單位根檢验目前已經成為宏觀数據建模前首先要進行的工作。為此,Dickey和Fuller(1979, 1981)[1]提出了著名的ADF檢驗,並推導了当時間序列yt是ARIMA(p,1,0)過程且滿足檢驗式中滯後差分項長度k ≥ p時ADF檢验統計量的極限分布。然而,在實際运用ADF檢驗時,真實的p是不知道的,因此需要研究者自己確定k。總的來說滯後長度的選擇方法主要分为兩類。一類是經驗法(rule of thumb)。這种方法是研究者任意選擇k,或将k表示為樣本容量的函數。另外一類就是根據數據來選擇k。這種方法主要有Akaike(1973)信息準則(Akaike Information Criteria,以下簡寫為AIC)、Schwarz(1978)信息準則(Schwarz Information Criteria,以下簡寫為SIC)、Hannan和Quinn(1979)信息準則(Hannan and Quinn Information Criteria,以下簡寫為HQIC)、從一般到特殊法則(General to Special Criteria,以下簡寫為GSC)、從特殊到一般法則(Special to General Criteria,以下簡寫為SGC)等。此外,在後來的研究中,Weber(1998)又提出了非自相關法則(No Autocorrelation Criteria),即從一個比較簡化的模型开始,逐漸增加滯後差分项直到殘差不能拒絕非自相關的原假設。2001年他又提出了一種考慮滯後長度k在特定區間[kmin, kmax]內的从特殊到一般法,該方法運用了一系列F檢驗,確定的最優滯後長度是使得比其大的直到kmax的所有滞後差分項對應參數的聯合檢驗均不显著的最小的k。
然而很多學者都指出,ADF檢驗的結論對滯后長度k的選擇非常敏感。Phillips和Perron(1988)模擬發現當真實數據生成過程為隨机遊走時,隨著檢驗式中差分項滯後長度的增加,会導致ADF檢驗的功效和水平都降低。另外,Schwert(1989)、Agiakloglou和Newbold(1992)以及Harris(1992)等也指出不同的滯後長度選擇方法對ADF檢验的實際水平和功效有明顯影響。這就引發了關於不同方法確定滯後長度是否以及如何影響ADF統計量極限分布的討論。
其實早在ADF檢驗提出不久,Said和Dickey(1984)就證明了對階數未知的ARMA过程檢驗單位根時,只要檢驗式中的滯後長度k滿足一定的上界條件和下界條件,仍可以用ADF統計量来檢驗原過程中單位根的存在。緊接著,Lewis和Reinsel(1985)提出了一個與Said和Dickey(1984)下界條件等價的條件,並證明當滿足該下界條件和Said和Dickey(1984)上界條件時检驗式中滯後差分項的參數估計量具有一致性和漸近正態性。Hannan和Deistler(1988)[2]則提出了各信息準則确定一個平穩可逆的ARMA過程滯後長度的若幹性质。
隨後,Ng和Perron(1995)明確解答了哪些滯後長度選擇方法滿足這些上界與下界條件,以及運用它們確定滯後長度如何影響ADF檢驗統計量極限分布的問題。首先,該文討論了檢驗式中滯後長度k不滿足Said和Dickey(1984)或Lewis和Reinsel(1985)下界條件對ADF检驗統計量極限分布的影響。他們認为這時仍漸近服從標準DF分布,同時滯後差分項的參數估計量仍具有一致性,但其向真值收斂的速度要小於 (T為樣本容量,下同)。接著,Ng和Perron(1995)將滯後長度的选擇準則與上述極限分布条件相比較,證明了在ADF檢驗中,利用各信息準則確定的滯後長度時不滿足下界條件,但統計量仍服從標准DF分布。而當運用GSC時,如果我們確定的滞後長度最大值滿足上界條件和Lewis和Reinsel(1985)下界條件,則滞後差分項的參數估计量具有一致性和漸近正態性,可以用t統計量、F統计量和Wald統計量檢驗其显著性。最後通過模擬重點討論了當數據生成过程為ARIMA(0,1,1)時各方法確定的滯後長度以及對ADF檢驗功效和實際检驗水平的影響。
類似地,Hall(1994)還從一個純自相關過程入手,給出了當真实數據生成過程是一個ARIMA(p,1,0)過程時,ADF统計量服從DF分布應滿足的假設条件。並討論了不同滯後長度選择準則對ADF統計量極限分布的影響。他認為當運用AIC、SIC、HQIC以及GSC確定滯後長度時,滿足上述条件,因此ADF統計量仍服從標準DF分布,而運用SGC時不能滿足上述條件,從而ADF統計量的极限分布發生變化,不再服從标準DF分布。最後對于不同的ARIMA(p,1,0)过程,模擬了基於各種準則的ADF检驗功效與實際檢驗水平。
此外,隨著研究的不斷深入,學者們又從一些新的角度對滯後長度選擇的問題進行了探討。比如Ng和Perron(2001)將Elliott、Rothenberg、和Stock(1996)[3]以及Dufour和King(1991)[4]提出的局部GLS退勢法與Perron和Ng(1996)[5]提出的修正的单位根檢驗統計量相結合,提出了一系列MGLS統計量來檢驗單位根。在這種檢驗中,他們首度運用了一系列修正的信息準則(Modified Information Criteria,以下簡寫為MIC)來確定滯後長度,並給出了其局部漸近性質。MIC與一般信息準則的本質區別就在於它考慮到檢驗式中一階滯後項參數估计量的偏差與滯後長度是高度相關的,進而通過加入一個包含一階滯後項參數估計量的修正項對信息準则擬和不足的問題進行了一定的校正。Ng和Perron(2005)又重點探討了在運用各種信息準則時,可用觀測值個數(即調整的樣本容量)、計算均方誤差時的自由度、以及計算懲罰因子(penalty factor)時使用的觀測值個数對滯後長度選擇的影響。结果表明在有限樣本下AIC與SIC選擇的滯後長度對上述三個因素非常敏感。
綜上所述,已有的研究主要集中在對ARIMA(p,1,0)和ARIMA(0,1,1) 過程進行單位根檢驗時,各方法確定的滯後長度以及相應的單位根檢驗的功效與實際水平上。而對ARIMA(0,1,q)即含有單位根的高階移動平均過程的研究則比較少。另外,也鲜見MIC與其他方法比较的相關研究。針對這些問題,本文對Hall(1994),Ng和Perron(1995, 2001)的方法和結論進行擴展,在接下來的部分中用蒙特卡羅模拟的方法在有限樣本下研究一個更一般的ARIMA(0,1,q)過程,對模擬結果中不同滯後期選擇方法尤其是MIC的優劣進行比较,以期找到一種能應用在更一般的數據生成過程中,並使ADF檢驗推斷更真實可靠的滯後長度選擇方法。最後一部分是对全文的總結,並提出了一些滯後項選擇及ADF檢验中需要註意的問題。

二、模擬結果

根據Hall(1994),Ng和Perron(1995, 2001)文章中的結論,運用信息準則和GSC確定滯後長度時,ADF統計量仍服從標準DF分布。其中運用GSC時滯后差分項以的速度收斂於真值,從而使ADF檢驗有一個更優的有限樣本性質。MIC是對通常信息準則的修正。因此本文選取AIC、SIC、MAIC、MSIC以及GSC五種方法來確定ADF檢驗式中的滯後長度。重點考察小樣本下當誤差項為高階移動平均過程時基於各準則的ADF检驗功效和實際檢驗水平的特征,以及MIC與其他方法相比對ADF檢驗統計推斷的影响和滯後長度選擇的異同。各方法确定滯後長度的原理如下:
首先,AIC與SIC具有相似的形式,選擇的滯後長度k满足使(1)式的值最小。其中AIC準則中CT=2,SIC準則中CT=logT,表示估計方程的誤差均方,它往往隨著滯後長度的增加而下降。是ADF檢驗式中的解釋变量個數,它等於滯後差分项個數k加上常數項以及時間趨勢項,會隨滯後長度的增加而變大,代表了對過度擬和的懲罰。因此選擇k使(1)最小意味著在較少參數和較小的殘差平方和之間做出選擇。
(1)
另外,Ng和Perron(2001)提出了一系列的修正的信息準則即MIC。其選擇的滯後長度是使得目標方程(2)的值最小的k,依據CT的表達式不同MIC又分別稱為MAIC與MSIC。
(2)
它與一般的信息準則的不同就是增加了一個修正因子,其表達式為:
(3)
其中是ADF檢驗式中一階滯後項的參數估计量。Ng和Perron(2001)證明會隨著ADF檢驗式中滯後差分項個数k的增加而減小,尤其當數據生成過程的移動平均部分含有負根時,這種減小更加明顯,因此可以有效地校正一般信息準則擬和不足的問題。
GSC則是在ADF檢驗式中選取r=j+m個滯後差分項,並通過對最後m个參數 (i=1, …, m)的顯著性進行聯合检驗來完成的,其中j∈[0, jmax]。该檢驗的Wald形式为:
(4)
其中 (5)
(6)
它代表所有解釋變量的方差協方差矩陣,是中右下方m×m階的塊矩陣。
代表该檢驗式回歸函數的誤差均方,其中代表回歸式的殘差。
檢驗規則為:j從最大的取值jmax開始,依次降低其取值直到(4)式表示的統計量顯著。該統計量服從自由度為m的χ2分布。基於顯著性水平α,滯後長度k的取值為① k = j +1,當是统計量所有值中第一個大於臨界值的值時。② k = 0,當統計量所有值均小於臨界值時。
為了考察誤差項為高階移動平均過程時ADF检驗中滯後長度的選择問題,我們對形如(7)式的數据生成過程共10種情况運用上述五種方法選擇滯後长度繼而進行ADF检驗。
(7)
其中L是滯後因子,ut是白噪聲,y0=0。
10種數據生成过程如下:①θ1=0.8, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ②θ1=0.5, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ③θ1=-0.5, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ④θ1=-0.8, θ2=0.0, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑤θ1=0.8, θ2=0.5, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑥θ1=0.5, θ2=0.3, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑦θ1=-0.5, θ2=0.3, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑧θ1=-0.8, θ2=0.5, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑨θ1=-0.8, θ2=-0.5, θ3=0.0, θ4=0.0; ⑩θ1=0.5, θ2=0.3, θ3=0.2, θ4=0.1。這10種情況描述了誤差項移動平均部分的根在個數、大小、正負等方面的不同情形。
ADF檢驗的原假設H0: ρ = 1;备擇假設H1: ρ < 1。ADF檢验式如下:
(a)
(b)
為考察不同情形下ADF檢驗的功效和實际檢驗水平,我們對每種數據生成過程分別取β=1、0.95、0.85,用Rats6.2模擬樣本容量T=100時基於兩種檢驗式(a)和(b)的上述檢驗过程以及T=250時基於檢驗式(a)的上述檢驗过程。對每種情況重复10000次,計算ADF統計量小於臨界值的概率,同時記錄每次選擇的滞後長度,最後計算滯后長度的均值和標準差。当真實數據生成過程是單位根過程即β = 1时,ADF統計量小於临界值的概率就是犯棄真錯誤的概率,即實際檢驗水平。而當真实數據生成過程為平穩過程即β < 1時,ADF統計量小於臨界值的概率則是1-犯取伪錯誤的概率,即檢驗功效。這里運用GSC確定滯後長度時取m=1,即計算單個參數的t統計量,顯著性水平取5%,各準則的最大滯後長度取kmax = 20[6]。
根據模擬結果,我們重點比較了各方法在滯後長度選擇及其相应的ADF檢驗功效和實際檢驗水平方面的異同,並考察了誤差项為高階移動平均時的各種數據生成過程、不同檢验式以及樣本容量對滯後長度選择及ADF檢驗統計推断的影響,從而對Hall(1994),Ng和Perron(1995)的結论做了一定的補充。

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滯後長度及其標準差方面(見表1、3、5),總得來說,GSC、AIC與MAIC选擇的滯後長度通常要高於SIC與MSIC,前者往往傾向於过度擬和。具體來說,當DGP中移動平均部分的根為正時,AIC與MAIC、SIC与MSIC選擇的平均滯後长度很接近。當移動平均部分含有負根時,修正的信息準則往往比相應的原準則選擇更大的平均滯後長度,並且這一差距隨著根更接近於-1或負根個數增加而更加明顯,同時滯後長度的標準差也隨之增加。
表1 滯後長度的均值和標準差檢驗式(a) T=100
β ARIMA(p,d,q) θ1 θ2 θ3 θ4 AIC SIC MAIC MSIC GSC
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.54 3.06 2.79 1.18 5.29 2.94 2.75 1.23 8.14 5.38
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.99 2.72 1.46 0.71 2.81 2.44 1.48 0.82 6.61 6.18
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.85 2.68 1.34 0.75 3.01 2.55 1.77 1.08 6.71 6.30
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 4.62 3.28 2.03 1.34 6.39 3.60 4.50 2.56 7.65 5.73
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.39 3.14 4.34 1.30 7.06 2.97 4.26 1.41 9.20 4.77
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.79 2.70 2.18 0.81 3.62 2.41 2.16 0.85 7.05 5.89
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 2.15 2.78 0.44 0.80 2.39 2.62 0.96 1.17 6.25 6.53
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 3.96 3.19 1.31 1.33 5.43 3.39 3.47 2.15 7.29 5.87
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 6.38 3.56 3.22 2.02 8.47 3.75 6.66 3.38 8.71 5.14
1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.21 3.63 1.63 1.32 4.91 3.43 1.82 1.44 8.30 5.44
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.57 3.14 2.77 1.17 5.33 3.17 2.76 1.37 8.09 5.36
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.87 2.57 1.44 0.73 3.06 2.75 1.51 1.08 6.59 6.20
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.55 2.61 1.08 0.76 3.94 3.20 2.68 1.69 6.29 6.31
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 2.80 3.11 0.75 1.06 8.54 4.54 7.17 3.82 6.74 6.29
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.31 3.09 4.32 1.32 7.11 3.23 4.22 1.62 9.10 4.80
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.74 2.55 2.18 0.85 3.78 2.83 2.24 0.96 7.08 5.95
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.76 2.58 0.27 0.67 3.24 3.13 1.92 1.57 6.11 6.66
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.72 3.03 0.57 1.01 6.96 4.56 5.22 3.39 6.56 6.21
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 3.22 3.69 0.56 1.27 11.11 4.96 10.38 4.77 7.56 5.93
0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.06 3.53 1.61 1.31 5.14 3.58 2.41 1.72 8.17 5.44
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.45 3.03 2.73 1.18 5.62 3.96 2.73 1.96 8.00 5.36
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.83 2.59 1.36 0.72 3.61 3.57 1.15 1.66 6.55 6.19
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.02 2.54 0.58 0.73 5.81 4.57 4.41 3.29 6.17 6.55
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.10 2.49 0.08 0.35 8.72 6.24 8.03 6.06 5.74 6.76
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.25 3.03 4.28 1.30 7.36 3.86 4.07 2.21 9.08 4.75
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.75 2.64 2.11 0.82 4.17 3.61 2.32 1.61 7.01 5.94
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.36 2.61 0.12 0.46 4.73 4.35 3.25 2.92 5.93 6.74
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.02 2.79 0.42 0.71 6.61 6.25 5.40 5.65 6.07 6.57
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 1.63 2.61 0.32 0.58 6.90 7.46 6.75 7.37 6.25 6.63
0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 4.98 3.52 1.54 1.27 5.56 4.04 2.84 2.22 8.14 5.44

註:表中所列和分別代表模擬10000次時各準則確定的(1-βL)yt滯後長度的均值及其標準差。

對同一數據生成過程而言,基於各種信息準則的實際檢驗水平由小到大分別為:MAIC、MSIC、AIC、SIC。尤其是當DGP的移動平均部分含有較大負根时,AIC與SIC的检驗尺度扭曲非常嚴重,在樣本容量為100時甚至達到了50%以上(見表2)。而這時MAIC犯第一類错誤的概率都能保持在10%以下。此時基於GSC的檢驗尺度扭曲要小於一般的信息準則,但仍大於修正的信息準則,在其他情况下通常介於AIC與SIC之間。從檢驗功效來看,基於SIC的檢驗功效最高,在移動平均部分中含有較大負根时其檢驗功效非常接近於1。其次是基於AIC與GSC的檢验功效,且前者的略高。基於修正的信息準則的檢驗功效最低,尤其是在樣本容量為100時更加明顯(見表2)。
表2 ADF檢驗的功效和实際檢驗水平檢驗式(a) T=100
β ARIMA(p,d,q) θ1 θ2 θ3 θ4 AIC SIC MAIC MSIC GSC
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0566 0.0569 0.0239 0.0211 0.0596
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0611 0.0674 0.0313 0.0248 0.0629
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.1008 0.1580 0.0516 0.0676 0.0981
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.2436 0.4257 0.0605 0.0929 0.1856
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.0604 0.0531 0.0218 0.0175 0.0594
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.0586 0.0590 0.0275 0.0241 0.0604
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.1187 0.1863 0.0576 0.0815 0.1043
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.2558 0.4599 0.0885 0.1378 0.1899
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.1939 0.3480 0.0373 0.0407 0.1438
1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.0665 0.0859 0.0253 0.0391 0.0587
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.2668 0.2911 0.1367 0.1240 0.2593
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.3005 0.3619 0.1877 0.1448 0.2930
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.5000 0.6536 0.2728 0.3463 0.4383
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.7933 0.9547 0.3115 0.3824 0.6256
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.2454 0.2687 0.1097 0.0910 0.2485
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.2787 0.2861 0.1467 0.1453 0.2535
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.5321 0.7436 0.3024 0.4025 0.4388
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.7758 0.9536 0.3680 0.4797 0.6081
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.8408 0.9769 0.3570 0.3809 0.6770
0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.2791 0.3917 0.1399 0.1938 0.2445
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.6912 0.7664 0.4479 0.5570 0.5993
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.8031 0.8715 0.6137 0.6142 0.6787
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.9308 0.9875 0.6248 0.7227 0.7701
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9847 0.9998 0.5978 0.6308 0.8492
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.5836 0.6846 0.3394 0.4195 0.5292
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.7371 0.7730 0.5239 0.5962 0.6230
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.9333 0.9912 0.6485 0.7690 0.7563
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9767 0.9999 0.6594 0.7188 0.8403
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9889 1.0000 0.7004 0.7062 0.8886
0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.6566 0.8509 0.3887 0.4404 0.5444

註:表中所列數值為模擬10000次時按照各種準則得到的ADF統計量小於Fuller(1976, 表8.5.2, 第373頁)5%顯著性水平下臨界值的概率。
2.不同DGP的影響
滯后長度方面,當數據生成過程 (Data Generating Procedure, 以下簡寫為DGP)中移動平均部分根的絕對值向1趨近或根的個數增加時,各準則選擇的滞後長度都會增加,標準差也相應增加。另外,當數據生成過程的移動平均部分相同時,是否含有單位根對平均滯後長度的選擇影響不大。同時,基於AIC、SIC與GSC得到的滯後長度標準差也很穩健,而基於MIC的滞後長度標準差隨著數據生成過程逐漸平穩有增加的趨勢(見表1、3、5)。
檢驗功效方面,當DGP的移動平均部分含有負根時,基於各準则的ADF檢驗功效通常會大於只含有正根的情況。大多數情況下,原過程移動平均部分中正根个數的增加會使檢驗功效降低,而負根個數的增加會使檢驗功效增加。當根的個數相同时,絕對值較大的正根會降低檢验功效,而絕對值較大的負根反而會增加檢驗功效。這一點在樣本容量為250時表現的更為明顯(見表6)。
表3 滯後長度的均值和標準差檢驗式(b) T=100
β ARIMA(p,d,q) θ1 θ2 θ3 θ4 AIC SIC MAIC MSIC GSC

1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.69 3.30 2.81 1.20 5.04 4.06 2.63 2.59 8.37 5.48
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.08 2.94 1.43 0.73 3.15 3.68 1.53 2.39 7.09 6.36
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.67 2.96 1.08 0.76 4.78 4.07 3.75 3.20 6.73 6.45
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 3.12 3.30 0.92 1.17 8.85 4.78 7.92 4.41 6.88 6.19
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.57 3.33 4.35 1.33 6.54 4.08 3.89 2.80 9.25 4.79
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.00 2.94 2.19 0.85 3.92 3.84 2.20 2.37 7.37 5.99
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.89 2.92 0.28 0.67 4.21 4.08 3.12 3.20 6.31 6.67
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.91 3.17 0.65 1.06 7.64 4.87 6.49 4.38 6.89 6.26
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 3.22 3.76 0.71 1.43 11.05 5.43 0.64 5.32 7.32 6.08
1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.30 3.76 1.59 1.32 4.86 4.30 2.44 2.78 8.57 5.49
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.69 3.27 2.78 1.91 4.90 3.58 2.52 2.08 8.31 5.38
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.05 2.90 1.39 0.71 2.98 3.23 1.22 1.72 6.82 6.32
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.30 2.74 0.85 0.73 4.44 3.70 3.55 2.74 6.52 6.54
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.94 2.91 0.38 0.79 8.20 4.95 7.25 4.49 6.34 6.57
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.49 3.27 4.31 1.33 6.48 3.60 3.86 2.42 9.22 4.77
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.91 2.78 2.16 0.88 3.64 3.20 2.14 1.82 7.21 5.94
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.58 2.82 0.18 0.56 3.82 3.75 2.81 2.71 6.17 6.79
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.20 2.75 0.43 0.83 6.44 4.95 5.31 4.33 6.27 6.46
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 2.14 3.30 0.25 0.72 9.50 6.06 9.16 5.93 6.94 6.28
0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.23 3.80 1.56 1.32 4.73 3.72 2.42 2.34 8.52 5.54
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 5.57 3.21 2.71 1.21 4.85 3.80 2.29 2.30 8.15 5.40
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 2.91 2.79 1.33 0.70 3.11 3.47 0.89 1.80 6.65 6.26
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 1.87 2.80 0.45 0.66 5.35 4.49 4.34 3.59 6.24 6.71
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.07 2.56 0.06 0.31 6.50 5.92 6.14 5.68 5.97 6.89
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 7.37 3.22 4.27 1.31 6.39 3.82 3.69 2.56 9.13 4.79
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 3.84 2.80 2.10 0.87 3.86 3.54 2.00 1.97 7.09 5.91
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.30 2.74 0.09 0.41 4.25 4.26 3.16 3.15 6.11 6.83
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.00 2.76 0.44 0.67 4.69 5.69 3.65 4.98 6.17 6.64
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 1.77 2.73 0.38 0.62 4.40 6.60 4.18 6.40 6.24 6.69
0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 5.09 3.72 1.52 1.28 4.82 3.90 2.23 2.42 8.35 5.46

註:表中所列和分別代表模擬10000次時各准則確定的(1-βL)yt滯後長度的均值及其標準差。
表4 ADF檢驗的功效和實際檢驗水平檢验式(b) T=100
β ARIMA(p,d,q) θ1 θ2 θ3 θ4 AIC SIC MAIC MSIC GSC
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0683 0.0713 0.0215 0.0230 0.0732
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0717 0.0667 0.0208 0.0194 0.0811
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.1557 0.2455 0.0376 0.0478 0.1218
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.4732 0.7289 0.0860 0.0911 0.3232
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.0713 0.0721 0.0197 0.0238 0.0758
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.0655 0.0702 0.0225 0.0239 0.0744
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.1734 0.2349 0.0453 0.0531 0.1355
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.4325 0.7176 0.1078 0.1201 0.2823
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.6082 0.8692 0.1187 0.1162 0.3691
1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.0809 0.1010 0.0340 0.0346 0.0807
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.1451 0.1560 0.0180 0.0079 0.1550
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.1567 0.1886 0.0266 0.0067 0.1758
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.3566 0.5263 0.0936 0.1033 0.2971
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.7728 0.9476 0.2001 0.2215 0.5420
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.1279 0.1517 0.0146 0.0065 0.1453
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.1402 0.1530 0.0203 0.0102 0.1460
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.4159 0.5712 0.1123 0.1332 0.3281
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.7185 0.9253 0.2600 0.2989 0.7400
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.8172 0.9812 0.2599 0.2612 0.5068
0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.1633 0.2137 0.0290 0.0191 0.1404
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.3684 0.4516 0.1061 0.0663 0.3430
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.4848 0.5911 0.1435 0.0782 0.4354
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.7934 0.9352 0.3420 0.3933 0.6109
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9697 0.9993 0.5447 0.5616 0.7438
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.2965 0.3920 0.0589 0.0499 0.2995
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.4015 0.4425 0.1305 0.0563 0.3571
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.8176 0.9627 0.3786 0.4273 0.6134
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9454 0.9978 0.6149 0.6812 0.5055
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9761 0.9998 0.7112 0.7192 0.7704
0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.3714 0.5606 0.1180 0.0473 0.3048

註:表中所列數值為模擬10000次時按照各种準則得到的ADF統計量小於Fuller(1976, 表8.5.2, 第373頁)5%顯著性水平下臨界值的概率。

轉貼于 免費論文下载中心 http://www.hi138.com 3.不同檢验式的影響
在滯後長度的選擇方面(見表1與表3),對於同一數据生成過程而言,SIC選擇的滞後長度對不同檢驗式表現的非常稳健,而其他準則對應不同檢验式選擇的滯後長度往往不盡相同。用AIC选擇滯後長度時,若移動平均部分的根為正,檢驗式(b)比檢驗式(a)更傾向於選擇較大的平均滯後長度。而当移動平均部分的根为負時,情況恰好相反。對於MIC,當真實過程為單位根過程或非常接近單位根過程(β=0.95)時,檢驗式(b)確定的平均滯後長度通常都較大,而當β=0.85時,情況恰好相反。用GSC選择滯後長度時,大多數情况下基於檢驗式(b)選择的平均滯後長度較大。
在滯後長度的標準差方面,與用(a)檢驗時相比,檢驗式(b)中的標準差略大。其中當使用AIC、SIC與GSC時,二者很接近。當運用MIC時這種差距更加明顯,但在β=0.85時減小。這也說明了AIC、SIC與GSC確定的滯後長度相對穩健。
在檢驗功效方面,運用AIC,SIC與GSC確定滯後長度時,隨着檢驗式中確定性成分的加入(如加入常數項),ADF检驗的功效降低,檢驗尺度扭曲增加。而運用MIC確定滯后長度時,基於檢驗式(b)的檢驗功效降低更加明顯,尤其是當真實數据生成過程很接近一个單位根過程(β=0.95)時,ADF檢驗的功效甚至低於5%。但這时檢驗式(b)中犯弃真錯誤的概率也往往更小(見表2與表4)。
表5 滯後长度的均值和標準差 T=250 檢驗式(a)
β ARIMA(p,d,q) θ1 θ2 θ3 θ4 AIC SIC MAIC MSIC GSC

1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 7.47 2.88 4.11 1.66 7.42 2.89 4.11 1.20 10.13 5.05
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.63 2.43 1.96 0.70 3.55 2.39 1.97 0.69 7.96 6.28
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 3.49 2.35 1.89 0.69 3.65 2.44 2.21 0.90 8.03 6.39
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 7.01 2.98 3.75 1.25 8.05 3.18 5.57 2.26 9.73 5.16
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 9.41 2.79 5.96 1.26 9.33 2.82 5.91 1.30 11.22 4.34
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.49 2.33 2.82 0.73 4.47 2.28 2.78 0.80 8.39 5.95
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 3.05 2.30 1.27 0.96 3.20 2.34 1.68 1.02 7.68 6.46
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 6.32 3.01 2.95 1.25 7.29 3.18 4.68 2.07 9.48 5.46
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 9.08 2.92 5.49 1.55 10.42 3.33 7.99 3.00 10.91 4.44
1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 7.71 3.17 3.45 1.93 7.58 3.17 3.53 1.88 10.57 4.90
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 7.45 2.84 4.13 1.19 7.59 3.38 3.97 1.67 10.11 5.02
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.56 2.38 1.92 0.70 3.82 3.00 2.18 0.94 8.01 6.29
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 3.26 2.41 1.67 0.68 5.25 3.46 3.85 1.89 7.87 6.50
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 4.89 3.04 1.78 1.32 12.00 4.31 10.73 3.99 8.79 5.88
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 9.34 2.80 5.93 1.24 9.50 3.28 5.77 1.75 11.11 4.28
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.47 2.35 2.80 0.72 4.84 3.05 2.50 1.09 8.29 5.95
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 2.75 2.46 0.80 0.95 4.59 3.34 3.23 1.71 7.74 6.66
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 4.50 2.94 1.54 1.20 10.51 4.38 8.94 3.74 8.54 6.01
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.05 3.75 1.12 1.92 14.82 3.80 14.37 3.81 9.73 5.32
0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 7.59 3.12 3.40 1.93 7.87 3.64 4.14 1.50 10.52 4.94
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 7.42 2.92 4.05 1.15 8.04 4.49 4.11 2.88 9.96 4.97
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 3.54 2.45 1.87 0.71 5.12 4.59 2.02 2.59 7.88 6.32
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 2.73 2.35 1.19 0.68 8.28 5.25 3.96 4.46 7.56 6.61
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 1.35 2.47 0.08 0.32 11.20 6.17 10.78 6.13 7.19 7.07
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 9.31 2.77 5.87 1.24 9.77 4.17 5.82 3.01 11.05 4.33
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 4.44 2.34 2.73 0.70 5.66 4.49 3.02 2.38 8.40 5.97
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 1.99 2.49 0.24 0.64 7.42 5.20 5.81 4.08 7.48 6.91
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 2.78 2.48 0.94 0.84 9.37 6.82 8.47 6.82 7.54 6.61
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 2.11 2.43 0.62 0.62 7.08 8.04 6.90 8.04 7.53 6.85
0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 7.56 3.13 3.24 1.94 7.97 4.49 4.58 2.33 10.42 4.93

注:表中所列和分別代表模擬10000次時各準則確定的(1-βL)yt滯後長度的均值及其標準差。
表6 ADF檢驗的功效和實際檢驗水平檢驗式(a) T=250
β ARIMA(p,d,q) θ1 θ2 θ3 θ4 AIC SIC MAIC MSIC GSC
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.0517 0.0543 0.0323 0.0283 0.0535
1.0 ARIMA(0,1,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0524 0.0528 0.0391 0.0361 0.0504
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.0744 0.1147 0.0522 0.0679 0.0665
1.0 ARIMA(0,1,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.1521 0.3059 0.0727 0.0983 0.1259
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.0459 0.0549 0.0327 0.0255 0.0504
1.0 ARIMA(0,1,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.0559 0.0520 0.0385 0.0298 0.0541
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.0749 0.1389 0.0532 0.0705 0.0732
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.1480 0.3181 0.0818 0.1200 0.1237
1.0 ARIMA(0,1,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.1222 0.2567 0.0469 0.0521 0.1075
1.0 ARIMA(0,1,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.0530 0.0642 0.0315 0.0280 0.0504
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.7283 0.7741 0.6024 0.6410 0.6751
0.95 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.7937 0.8145 0.7018 0.7455 0.7131
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.8924 0.9669 0.7638 0.8615 0.7943
0.95 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9532 0.9986 0.7254 0.7912 0.8785
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.6763 0.7256 0.5399 0.5668 0.6438
0.95 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.7763 0.7877 0.6725 0.6687 0.7050
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.8896 0.9622 0.7678 0.8718 0.7828
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9528 0.9981 0.7543 0.8365 0.8690
0.95 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9667 0.9991 0.7513 0.7658 0.9210
0.95 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.6892 0.7983 0.5529 0.5579 0.6397
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.8 0.0 0.0 0.0 0.9868 0.9985 0.9263 0.9779 0.9580
0.85 ARIMA(1,0,1) 0.5 0.0 0.0 0.0 0.9964 1.0000 0.9451 0.9881 0.9613
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.5 0.0 0.0 0.0 0.9976 1.0000 0.9331 0.9610 0.9770
0.85 ARIMA(1,0,1) -0.8 0.0 0.0 0.0 0.9994 1.0000 0.9727 0.9728 0.9933
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.8 0.5 0.0 0.0 0.9753 0.9952 0.9034 0.9639 0.9526
0.85 ARIMA(1,0,2) 0.5 0.3 0.0 0.0 0.9943 0.9999 0.9406 0.9852 0.9607
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.5 0.3 0.0 0.0 0.9981 1.0000 0.9375 0.9689 0.9738
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 0.5 0.0 0.0 0.9998 1.0000 0.9684 0.9670 0.9914
0.85 ARIMA(1,0,2) -0.8 -0.5 0.0 0.0 0.9998 1.0000 0.9875 0.9885 0.9974
0.85 ARIMA(1,0,4) 0.5 0.3 0.2 0.1 0.9976 0.9960 0.9095 0.9734 0.9444

註:表中所列數值為模擬10000次時按照各種準則得到的ADF统計量小於Fuller(1976, 表8.5.2, 第373頁)5%顯著性水平下臨界值的概率。
4.不同樣本容量的影響
對於同一数據生成過程和滯後長度選擇準则,T=250時選擇的滯後長度明顯增加,大多數情況下增加了1,而滯後長度的標準差除了修正的信息準则在真實生成過程平稳時標準差有所增加外,在其余情況下均變小,即滯後長度表現出比樣本容量为100時更加穩健的特征(见表1與表5)。
另外,當樣本容量為100時,應用各準則進行檢驗犯棄真錯誤的概率略大。當樣本容量为250時,除MIC导致更大的檢驗尺度扭曲外,應用各准則進行ADF檢驗的實际檢驗水平都低於樣本容量較小時的水平,即犯第一類錯誤的概率明显下降。另外,應用各準則進行ADF檢驗的功效與T=100時相比都有很大提高,且基於各準則的检驗功效之間的差距也有所減小。例如,當β=0.95時,基於不同DGP和準則的檢驗功效絕大部分都大於70%,當β=0.85時的檢驗功效更是均大於90%甚至更高(見表2與表6)。這與我們通常的結論相一致。

三、結 論

當數據生成過程的移動平均部分含有負根時,一般的信息準則会傾向於選擇較小的滯後長度,而MIC通過加入了修正因子能夠在一定程度上修正一般信息準則擬和不足的問題,繼而得到較為合理的檢驗尺度,其犯弃真錯誤的概率往往能保持在0.05,然而代價往往是檢驗功效的降低。
總之,修正的信息準則通常擁有較好的實際检驗水平,尤其是在移動平均部分含有較大的負根時,檢驗尺度的扭曲較小,即犯棄真錯誤的概率較小。而AIC、SIC與GSC通常具有較高的檢驗功效,即犯取偽錯誤的概率較小。因此,如果一個時間序列運用MIC進行ADF檢驗時,不能拒絕單位根原假設,那麽我們可以認為,該序列是一個單位根過程的可能性很大。反過來,如果運用另外三個準則進行ADF檢驗,結果拒絕了單位根原假設,那麽我們就有充分的理由相信原序列平穩。
在實際操作中,由於AIC與SIC往往擁有較高的檢驗功效,但相應的檢驗尺度的扭曲也較大;而修正的信息準則雖然擁有較合理的實际檢驗水平,但要以付出檢驗功效為代價。因此我們建議選用GSC,它恰好是信息準則與修正的信息準則的一個折中,即犯棄真錯誤的概率不會太大,同時检驗功效也不至於太低。因此利用t檢驗或F檢驗選擇滯後長度k的方法優於其他選择法,因為其擁有相对較為穩健ADF檢驗性質。
此外還有幾個需要註意的問題:①誤差項中的高階移动平均過程會影響滯後长度的選擇及相應的ADF檢驗功效、實際檢驗水平。移動平均部分中根的個數尤其是正根的增加往往會使檢驗功效下降,較大的負根則會造成檢驗尺度的扭曲。而這兩種情況都會使選擇的滯後長度及其標準差增加。②随著確定性成分的加入,基於各種準則的ADF檢验功效均有所下降,而檢驗尺度的扭曲(除MIC外)也相應增加,這時MIC仍具有較優的檢驗尺度,但檢驗功效非常低,有的甚至低於0.1。而加入漂移項對滯後長度的影響則因選擇方法不同而不同。③建議選擇大樣本進行ADF檢驗,模擬表明樣本容量為250時各準則在滯後長度的選择方面更加穩健,檢验尺度的扭曲有所減小,同時檢驗功效都大幅提高(接近于1),並且各準則在检驗功效之間的差距也縮小。
本文在運用一般到特殊法則時,實際是運用t统計量檢驗滯後差分项的參數顯著性,即取m = 1。那么當取m > 1時,檢驗結果是否隨m的不同而改變?對不同的數據生成過程是否存在一個最佳的m使得檢驗功效和實際检驗水平都最優?在实際操作中,如何確定一个先驗的m?這些問題都值得進一步研究。另外,研究表明,滞後長度的上界與下界也直接影響最終滯後長度的選择,進而影響ADF檢驗的統計推斷,如何確定最優的上界與下界也是一個值得研究者繼續探討的问題。

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[6] Said和Dickey(1984)下界條件要求kmax > logT ,本文中當T=100和250時,logT為4.61和5.30,因此取kmax=20能夠滿足下界条件。另外,為滿足上界條件,我們限制kmax ≤T/4,因此當T=100和250时,kmax=20顯然也能够滿足上界條件。

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