Peirce* 邏 輯 代 數 中 的 幾 個 符 號 及 其 它

論文類別:哲學論文 > 邏輯學論文
論文作者: 張留華
上傳時間:2003/3/28 9:46:00

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  現代逻輯常被人們追溯到她的奠基人Frege (Lebniz是先驅者的地位);接著談現代邏辑,人們會自然地找到其身後的Peano、Russell、Whitehead、Wittgenstein、Carnap(維也納學派時期)、Quine等人,如此就认為是勾勒出了現代邏輯的脈絡。這一看法多年來幾乎是毫無異议的。但隨著邏輯科學尤其是現代邏輯的不斷發展,有潛心思考的研究者(Fisch、Zeman、Hinttika等)發現了那多年來一直被忽視但卻蘊藏在現代邏輯誕生之初的分歧,認為分歧之中與權威相對的另一面應該值得重新或深入的研究,這另一面就是由Boole开始經由Peirce、Schröder直至后期Carnap、Tarski、Skolem等人維持的一條路线,它可看作是對邏辑基礎研究的另一途徑或方法(approach)。著名Peirce研究學者M.H.Fisch一語道出這一分歧的實際情形:“但Boole-Peirce-Schröder (在下文中我們簡寫為BPS)路線不是被Frege-Peano-Russell-Whitehead (在下文我们簡寫為FPR)路線取代了嗎?不;它只是被掩蓋了。”

  在BPS傳統中,Peirce(1839---1914)是位極其重要的人物,這倒不僅是因為他天才般的思維和對哲學和邏輯史上後來工作者的實際影响(美國本土哲學家James、Dewey、Mead、Lewis等無不受其影响,甚至歐洲大陸的K.O.Apel等人的思想也多直接源于Peirce),也不僅是因為他涉足領域的廣泛(除哲学和邏輯學之外,還有數學、天文學、物理學語言學、化學、大地測量、心理學、現象學等等);而主要是因為他在現代邏輯理論史上的諸多實質性的貢獻。我們已經很難統計他敏銳的洞察力到底涉及到多少邏輯贡獻,但根據迄今為止Peirce學者的研究成果,以下的领域是當然的和主要的:形式邏輯(主要是对傳統邏輯的改進)、邏辑代數、關系邏輯、命題邏輯、謂词邏輯、三值邏輯、模態邏輯、語言邏輯、邏輯哲學、歸纳邏輯以及邏輯史研究。

  Peirce早期的邏輯研究(從1865年到約1885年)主要集中於邏輯代數。在當時,布爾邏輯剛創立不久,布爾的追隨者很多,著名的有Venn、Schröder、De Morgon等人,他們之間的研究有相互啟發與借鑒之处(有關貢獻的紛爭,可參看Kneale的《邏輯學的發展》),但主要還是相互獨立的。Peirce就是其中一位極具獨立性又最有創新的突出人物。身為著名數學家Benjamin Peirce(美國當時科學界的一權威)的兒子,Peirce本人也是一數學家,他對於代數在邏輯中的應用,得心應手,他甚至曾把“三段論”作為“聯結词的代數”來研究。事實上,當时的符號邏輯就是邏輯代數(algebra of logic)。



2

  在Peirce看來,現代邏輯的研究實質上就是代數到逻輯的一場“類推(analogy)”,這種“類推”的前提,首先就是對代数中的符號的選擇。不同的邏輯代數研究者都有着自己的選擇,它們或者是從代数中原封不動地引入,或者是對代數中的相關符號做出邏輯意義上的改進。我們这裏從Peirce邏輯代数研究中所運用的諸多符號中選取以下主要的幾個,其中有的是Peirce本人独創性地提出,有的是Peirce同其他人同時提出和使用,有的是BPS傳統所特有的:

   一、包含於(inclusion in 或 is或as small as)符號“—<”(它是“≤”的一種方便的寫法)的引入。這是最重要的一点,它被Peirce本人多次提到,也被後來的研究者所普遍註意。但Peirce本人稱,這一符號是由他和H.McColl同時引入的。Peirce這樣定義“—<”:

  1、A —< A,無論A是什么;

  2 、若A —< B,且B —< C,則A —< C。

他说,這樣的定義雖然未區分開包含關系和包含於關系,但為形式邏輯目的,卻是足够的。Peirce看到包含於符號具有邏輯上的優点:首先,原來布爾的符號只能表達,物的某種描述不存在,而不能說某物不存在;而使用包含於和非包含於( —<(超文本閱讀注釋:要在這一符號上方加一橫線)),“Griffin(一種怪兽) —< 噴火”意思就是,“不存在不噴火的Griffin”;同樣“動物 —<(超文本閱讀註釋:要在這一符號上方加一橫線)水生的”意思為,“存在不是水生的動物”。Peirce這種特別的解釋很容易使我們想起前些年一直讨論的傳統三段論中的主詞存在問題;同時符號“—<”的解釋也使我們聯想到現在邏輯研究中廣泛運用的實質蘊涵符號“→”(其實,關於實质蘊涵,Peirce有更清楚的表達:從“x—< y”推到“是y(超文本閱讀註釋:要在這一字母上方加一横線)的x —<(不可能)”)。其次,在布爾的演算中經常用到的相等號或等值號“ = ”是一種更加復雜,即有著更大內涵(comprehension)或深度(depth)的關系,而相比之下,“—<”則更為簡单方便,我們可以說A=B蘊涵A—
  關於Peirce的“—<”符號,還有一點值得一提。在談到這一系詞的三個屬性時,Peirce做出了卓有見識的引申。他說,對於包含(containing)關系,我們可有著不同於通常“—<”的理解,從而會得到與之平行的幾種邏輯學說。若令 a—<´ b意為a同b一樣小,除了在a同某物一樣小時而b不能同這一物一樣小之外,a 、b之間沒有什麽不同;则我們可得到數學或量的邏輯學。若令a—<´´ b意為所有b是a,除了有a能謂述的某物而b不能謂述之外,a 、b之間沒有什麽不同;這樣我们所得到的,在另一方面就僅僅是邏輯學。若令a—<´´´ b表示b是a的後承,除了两者導出的後承不同之外,a 、b没有什麽不同;那麽我們得到的將是條件句的邏輯學。這樣的一种解釋,一方面顯示了“—<”或蘊涵在邏輯科學中的基礎性的重要作用,另一方面也從一極為特別的角度論證了邏輯的多類型。此外,其與後來模型論的思想也有著本質上的吻合。

二、包含(inclusive)意義下的邏輯加(符號為“+(超文本閱讀註釋:要在這一符號右下方加一逗號)”,有時直接用“+”)的使用。Peirce這樣定義邏輯加:

1、A—< A +(超文本閱讀註釋:要在這一符號右下方加一逗號) B;

2、B—
3、若A—
符號“ +(超文本閱讀註釋:要在这一符號右下方加一逗號) ”是Peirce在1867年引入的,而(Peirce稱)Jevons在1864年,R.Grassmann在1872年,Schröder在1877年,McColl於1877年也相繼獨立地提出了這一用法,即不管相互間是否相斥,都使用“+(超文本閱讀註釋:要在這一符號右下方加一逗號)”,把不同的项加在一起。這也就是我们常說的區別於算術加的邏輯加,或者如現代邏輯中所說的相容析取。譬如“歐洲人 +(超文本閱讀註釋:要在這一符號右下方加一逗號) 共和黨人”就表示,把所有歐洲人和共和黨人算在一起,而不用想盡辦法,像在算术中一樣,把共和黨人加上兩次。但若是Boole和Venn,他們就會寫成“歐洲人+ (超文本閱读註釋:要在這一符號右下方加一逗號)非歐洲人的共和黨人”或“非共和黨人的欧洲人+(超文本閱讀註釋:要在這一符號右下方加一逗號)共和黨人”,這對於邏輯來说,顯然是種不必要的麻煩 。

三、對“1”的理解。同布爾(而論域的概念最初是由De Morgon引入的)一樣,Peirce在邏輯上把“1”看作有限论域(limited universe of discourse),而不是無限的全体域(an unlimited universe)。他認為,無限域将包括邏輯上可能的所有領域。在這樣一個全域中,每一全稱命題,如果不是重言的,就是假的;每一特稱命題,如果不是荒谬的,就是真的。我們的談话很少涉及這種全域,我們倒是經常想起物理上可能的,或歷史上存在的,或有某種虛构的世界,或是其它的有限域。这樣的一種觀點可認為是BPS路線的一特色之處,年僅23歲就去世的法國著名邏辑學家Herbrand正是在一方面接受並重視了這樣一種認識,另一方面精心研究《数學原理》系統的基礎上,在謂詞逻輯等現代邏輯理論上做出了突出貢獻。事實上,在邏輯史上這樣一種觀點支持了包括可能世界理論(模態邏輯)、模型論、邏輯語義学和元邏輯理論等在內的一系列理論。然而,與以上有限域的認識截然不同的觀點確实在過去以及現在的邏輯学家中存在,最為典型的是Wittgenstein,其名言“一切真命題都是重言式”和“邏輯命題描述世界的脚手架”的提出,正是基於一種無限域的認識;他把現實世界與我們的語言(認為,我們只有一种自然語言或人工語言)一一對應起來,認為我们對任何系統都只有一種解釋,任何時候我們都不能跳出我們唯一的語言之外去言說我們自己。

四、其它符號。 以下我們將通過定義或描述的方法列出Peirce的另一些符號:邏輯等即等值“ = (超文本阅讀註釋:要在這一符號下方加一逗號)”,與算術上的等號相區別,但Peirce在很多時候,幹脆把它寫為“ = ”,只是在邏輯上仍與符號“=(超文本閱讀註釋:要在這一符号下方加一逗號)”含义一樣。邏輯乘(符號為“,”)定义為:

1、A,B—< A;

2、A,B—< B;

3、若C—
“有(what it is)”定義為:x—< 1,不論x是什麽;而“無(nothing)”定義為:0 —< x,不論x是什麽。在“A(超文本閱讀註釋:要在這一字母上方加一口朝上的半圓弧) —< B(打印註釋:要在這一字母上方加一橫線)”中,A(超文本閱讀註釋:要在這一符號上方加一口朝上的半圓弧)表示“一些A”,B(超文本閱讀註釋:要在這一符號上方加一橫線)表示“非B ”。 量詞符號:Π和Σ分別代表“所有”和“一些”。還有,包含以上符號的公式 x (1—y) = 0; x y = 0; x y ≠ 0; x (1—y) ≠ 0,它們或許是我們最為熟悉的。



3

以上所談Peirce的些許理論,當然不能概括出他全部的理论精華;其研究廣度如上文所述,而且每一領域都有著獨創性或突破性的貢献。但是,歷史,包括逻輯史,好象總愛玩弄一種“狡计”:天才總在歷史的車輪繼续開向前時才能被發現和认同,如Frege的《概念文字》和《算術基礎》在發表數年之後,才被Russell和Carnap首先給予重視;Peirce的命運比Frege來得更壞,倒是他哲學上的實用主義理論在提出數年之後也被James給予了贊誉,稱他為“實用主義的鼻祖”;但是,正如Russell所說,“我們通常把Peirce看作是實用主義的创始人。但是這種看法需要认真加以限制。現代的實用主義不是出自Peirce,而是出自W.James以為Peirce說過的話。”“他的實效主義(pragmaticism)和James的实用主義(pragmatism)并沒有多大關系。”更何況Peirce的邏輯貢獻只是在比James更晚的時間才尋到了“伯樂”。

Peirce的研究状況在國內尤為糟糕。哲學上,人們提到實用主義,首先會谈到James,恐怕只有讀過James的人才會知道Peirce,而且多少年來,我們對Peirce的理解仍舊停留在James階段,即《通俗科學雜誌》上的兩篇文章:《如何使我們的觀念清楚明白》和《信念的確定》。在邏輯上,也沒有更好,就是目前我們也很難在某一著作或雜誌上找到一篇稍長一点的簡介;與Frege相比,我們言現代邏輯,必談Frege,却總談不到Peirce。難道說,Peirce真的不重要嗎?當然不是!國外多年來的研究以及諸多哲學家和邏辑學家(Beth、Lewis、Tarski、Copi和Hintikka等等)受益於其理論的事實已經表明了這一点。筆者認為Peirce邏輯理论中至少以下的幾點應該在目前國內邏輯學界引起重視:

首先,應明確Peirce所代表的BPS路线是屬於代數方法(algebraic approach)的,完全不同於Frege所代表的公理化方法(axiomatic approach)的路線。Peirce曾专門談到,“邏輯符號系統的目的”“僅僅且只是邏輯理論的研究(investigation),根本不是建構一個輔助推理的演算”;“為邏輯理論設计的系統應該是盡可能分析的(analytical),把推理分为盡可能多的步驟,把它们都展示於盡可能最一般的範疇之下。”因此,我們不能期望從Peirce那裏找到優於或並列於Frege、Peano、Russell等人的所謂標準公理系統的演算。評價Peirce我們決不能以FPR傳統的觀点和標準,而要以全面的現代邏輯觀点:包括各種標準和非標准邏輯、邏輯哲學和哲學邏輯都在內的正在發展著的現代邏輯思想,立足於邏輯的核心:推理,緊緊圍繞邏輯的目的:設法增進我們推理的有效性,來進行實事求是的、無偏見的重新認識或者是第一次認識。展開來说,對Peirce的正確評價,其實涉及到我們邏輯研究视角的轉換和拓展;任何時候,我們都千萬不要把邏辑形式系統的建構與豐富而深刻的逻輯理論研究等同起來,對於真正的邏輯理論研究,我們既不能滿足於煩瑣概念的詭辯遊戏,同樣也不能是僅僅的抽象符號的純演算,要記著,我們所采用的一切手段和工具都服務於我们心中永恒的邏輯目的:(邏辑)有效性的增進,(邏輯)真的追求。

其次,Peirce從对Aristotle邏輯的深入分析和對邏輯史的細致研究(Peirce曾建立有自己的邏輯圖書館)以及對 Kant理論的批判性發展出發,來做出自己的邏輯研究,他對邏輯的態度始終是不帶偏激、不遺殘缺的。表現在邏輯與數學的關系上,他早就提出,邏輯不能歸結于數學,同樣數學也不可能归結於邏輯;從而避免了走向Frege 和Russell他們邏辑主義的死胡同。表現在對於一階邏辑的態度上,Peirce並不像Quine(在Frege那裏也隱含著)那樣宣稱,如果誰不知道一階邏輯,誰就對邏輯毫無理解,全部邏輯也就只是一階邏輯;在他看來自我同一的量化理論只是众多邏輯系統中的一個,他常常設法给出一階邏輯的更為深刻的基础並拓展這一範圍,他說,說數學演示方法是唯一普遍有效的,這正是邏輯学家們視之為謬誤而要避免的。

再次,Peirce對待形式化的思想無疑包含了模型論的全部要義。Peirce有著自己的邏輯代數等演算,但他更註重它們的解釋;他相信,真正重要的不是什麽形式系統,而是潛在的所表达的實在(realities),我們可自由地根據不同場合選择我們不同的系統。

最後,Peirce得益於早期在對邏輯代数研究中形成的符號邏輯系統目的即邏輯理論研究的思想,使他沒有局限於使用代數的符號,而又采取了圖表(graph)符號,進而形成了他著名的存在判斷圖表系統α、β、γ,並最終達到了“大逻輯”(a broad sense of logic)--“符號(sign)”或“象标(iconicity)”的理論的認識。其存在判斷圖表(existential graphs)理論,在近年來基於計算機的圖表推理表示法發展之後,被應用於人工智能領域,甚至IBM的一研究者John Sowa,奠基於這一理論又發展出了一概念圖表(conceptual graphs)。

  上述Peirce的一系列觀點,在今天处於邏輯科學前沿的Hintikka、J.V.Heijenoort等人那裏得到了熱烈呼應,他們把Peirce稱為語言的模型論觀點的一標準成員(integral member)來對待,並把他與Husserl並提,用來對抗由Frege到Heidegger的“作為語言的邏輯(logic as language)”的傳統(其核心觀點是,現實世界是语言的唯一解釋,不存在多數可能的世界,從而否定模態邏輯的合法性,否認真理的可判定性或主張“真”的無法言說(ineffable))。



主 要 參 考 文 獻

Peirce,Charles Sanders Collected Papers Of Charles Sanders Peirce edited by Charles Hartshorne and Paul Weiss The Belknap Press Of Harvard University Press ,1931-1935.

Peirce,Charles Sandes Writings of CHARLES S. PEIRCE ( A Chronological Edition ) edited by Edward C. Moore ,Indiana University Press 1984.

Peirce,Charles Sanders logic , symbolic logic 詞條 Dictionary of Philosophy and Psychology edited by James Mark Baidwin, The Macmillan Company, 1925.

Peirce,Charles Sanders Philosophical Writings of Peirce selected and edited by Justus Buchler, Dover Publications,Inc.,1955.

Hintikka,Jakko Lingua Universalis vs. Calculus Ratiocinator Kluwer Academic Publishers,1997.

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