淺議帕斯卡概率邏輯的批判性反思

論文類別:哲學論文 > 邏輯學論文
論文作者: 李旭燕
上傳時間:2011/7/15 9:34:00

  [摘要]針对帕斯卡概率邏輯的哲學探討存在的局限性,文章試圖從語形方面對經典概率演算系統進行修改或否定來研究概率邏輯。一些學者認為初始概率可以不滿足概率演算,從而催生了一些非科爾莫哥洛夫概率理论。實際上,非科爾莫哥洛夫概率理論是帕斯卡概率逻輯的變異,或者從某種意義上說,非科爾莫哥洛夫概率理論是帕斯卡概率邏輯的發展。
  [關键詞]帕斯卡概率邏輯;概率解釋;非科爾莫哥洛夫概率理論
 
  
  帕斯卡概率邏輯的哲學探讨到目前為止已經取得了不少的进展和突破,尤其是最近幾十年來才發展起來的性向(propensity)解釋和主體交互(in-tersubjective)解釋。不過,盡管帕斯卡概率解釋發展到今天已經取得了很大的成就,但這并不表示它們已經發展到了頂點。相反,帕斯卡概率的各种解釋還存在著一定的局限性或者遇到了一些困難。於是,出於長足推進我國歸納邏輯發展的需要,總結和反思帕斯卡概率邏輯哲學研究的現狀,瞻望歸纳邏輯發展的更高形態就是必要的和重要的了。
  
  一、各种概率解釋的局限性
  
  概率理論是由帕斯卡開创,並且由科爾莫哥洛夫實現公理化的經典概率演算系統。這种理論主要是作為數學概率论而發展起來的,但人們是在最廣泛的意義上使用概率概念的,對概率的解釋不同,也就產生了各自有別的測定概率值的方法,由此便導致了不同類型的概率邏輯系統。於是帕斯卡概率便出現了以下幾種主要的解釋:邏輯解釋、主觀解釋、頻率解释、性向解釋以及主體交互解釋。這些概率解釋都具有一定的恰當性和可應用性,但同時它們又不可避免地存在一定的局限性。具體地說:
  在邏辑解釋中,凱恩斯與卡爾納普都采用了無差別原則作為邏輯原則。但無差別原則毫無疑問會導致悖論,例如,關於書的悖論、酒—水悖論和幾何學概率的悖論。雖然对一些這樣的悖論有獨特的解決方法,但是沒有任何普遍的方法把它們都消除掉。任何使用無差別原則的人從来都不能肯定它是否和什麽時候將出現矛盾。因此,唯一安全的策略就是完全地拋棄这個原則,並且這樣做意味著放棄邏輯解釋——至少放棄它的传統形式。
  在信息不充分的情況下,主观解釋是比較適用的,因而它極大地拓寬了概率論的應用範圍,使得人們的意見、判斷、評價、信念等主观的東西都可以通過信念度來測量。例如1999年春夏之際,北約對南聯盟進行空中打擊,狂轰亂炸,久攻不下。當時人們紛纷猜測北約會不會向南聯盟派遣地面部隊,這種事情發生的可能性究竟有多大?我們就可以用主觀信念度來表示“北約向南聯盟派遣地面部隊”這一事件的概率。但是,由於主觀解釋允許具有同樣證據的不同主體對同一假說可以合理地賦予不同的概率,從而使得人們在確定初始概率或先驗概率上具有相當大的主觀任意性。拉姆齊認為,除了滿足概率公理之外,沒有什麽可以唯一地确定先驗概率或初始概率。主觀標準的隨意性遭受到了許多的批評,對於這一困難,德·芬內蒂提出了著名的“意見收斂定理”加以保證。但由於意見收斂定理必須滿足的前提即所討論事件的可換性也遭到了許多批評,這就使得人們用主观概率來表達客觀概率的期望成為泡影。因而,主觀主義者們繞了一個大彎又回到了起點,即對基本概率的確定是主觀任意的,唯一的限制是滿足概率公理。
  由於頻率解釋把概率定義為事件在無窮序列中的相對頻率的極限,因而這種解釋在科學确證的過程中遇到了許多困難。例如,對於單個事件,如何確定它的概率;對於休謨問題,又是如何解決的。而性向解釋(主要指長趨勢性向解釋)在一系列問題上明顯優越於频率解釋:性向解釋是一種关於概念創新的非操作主義理論,這種非操作主義理論在自然科學中解釋概念創新比馮·米瑟斯的操作主義更好;性向解釋消除了關於無限聚合的所有問题,並且通過為概率陳述引入一種可证偽規則,這個規則對概率与十分適合標準統計實践的頻率之間的關系給出了一种解釋;性向解釋通過把隨機和独立歸約為獨立的排除了馮·米瑟斯對這兩個不同概念的介紹;性向解釋通過把概率与可重復的條件而不是聚合聯結起来容許演算的更廣泛應用;性向解釋更符合科爾莫哥洛夫公理和對概率使用测度理論的現代數學方法,因為它容许概率作為一種未被定義的概念被引入;等等。就所有這些觀點來說,我們認為性向解釋已經替代了頻率解釋並且是當前可利用的有效的客觀解釋。然而,人們對性向概念的理解遠不止这些,並且隨著科學的發展而發展,同時又不可避免地存在各种各樣的異議和含糊。
  主體交互解釋把概率看作是關於一個群體的共同信念度。被用來介紹主體交互概率的荷蘭賭論證表明,如果這個群體同意一個共同的賭商,那麽這個共同的賭商就會保護他們不被狡猾的對手打輸。荷蘭賭論證向群體的擴展僅僅對具有共同旨趣的群体有意義。這表明了這樣的群體應该在其內部建立交流和信息流,使得他們通過討論能夠形成一致意见或主體交互概率。只有通过這種方式整個群體才能保護自己不輸給狡猾的對手。但是,主體交互解釋也不可避免地存在著一些問題,例如它只適用於具有共同旨趣的社會群體,而對一個缺乏共同旨趣的群體沒有有效性,因為每個個体都將不關心這個群體的其他成員發生什麽事情,因而每個個體将形成他或她自己的主观概率而不考慮其他人的信念;主体交互概率概念對宗教流派、政治黨派等社會群體来說是合適的概念,但他們通常沒有達到包含全體人類。
  以上是我們對符合經典概率演算的各種解釋的分析和論述。很顯然,主觀解釋、主體交互解釋以及性向解釋是當前可利用的比較有效的概率解释,它們都具有一定的恰當性和可應用性,但同時它們又不可避免地存在著一定的局限性。因此,一些學者试圖從語形方面對經典概率演算系統進行修改或否定來研究概率邏輯。  二、非科爾莫哥洛夫概率理論
  
  在主觀解釋中,貝葉斯主義者支持的更新規則是條件化:Pr更新(A)=Pr初始(AIE)(只須Pr初始)。後來,劉易斯(Lewis)對條件化给出了一個“歷時的”荷蘭賭论證。傑弗裏(Jeffrey)條件化的規則或概率運動學將按照下式把主體的更新概率函數與初始概率函數聯系起來:Pr更新(A)=∑Pr初始(AIE)Pr更新(Ei)。正統貝叶斯主義可以用下列原則刻画:(1)理性主體的“先驗”(初始)概率符合概率演算;(2)理性主體的概率借助(杰弗裏)條件化規則來更新;(3)對理性主體沒有任何進一步的約束。
  但是正统貝葉斯主義遭到了他們的批评,說它的要求過分了:它對所有命題、邏輯全知者等等指派精確概率的要求一直被有些人看作是不合情理的理想化。这就導致了對上述原則(1)和(2)的各种放寬。原則(2)可以被弱化以容許除條件化之外的概率更新的其他規則——例如,Jaynes和斯基爾姆(Skyrms)認為在相关限制的條件下,對使熵極大化的概率函數加以修改。而一些貝葉斯主義者例如厄爾曼(Earman)則放棄了概率更新完全是由規則支配的要求。对原則(1)的放寬是一個大論題,它催生了一些非科爾莫哥洛夫概率理论。下面我們將簡要地介紹一些這樣的系統,並指出它們与各種邏輯之間的聯系。
  拋棄西格馬域子結構科爾莫哥洛夫把Ω子集的一个非空聚合F稱為Ω上的一個西格馬域,當且僅當,F在取余運算和可數的組合之下闭合。法恩(Fine)在他的《概率論》(1973)论證說,概率函數的域應该是西格馬域的要求是過分地限制的。例如,人們可能拥有對於種族和性別的達成共識的有窮材料,這些材料給出了关於一個隨機選定的人是男人的概率Pr(M)和這個人是黑的的概率Pr(B)充分的信息,而沒有給出關於這個人既是男人又是黑人的概率Pr(M∩B)的任何信息。因此他認為,應該拋弃西格馬子結構,使概率函數的域不用限制於西格馬域。
  拋弃精確概率每一個科爾莫哥洛夫概率都是一個單獨的數字。但是,假定一個主體的意见狀態並不決定單獨的概率函數,而是與這些函數的積相一致。在這種情況下,人們可以把該主體的意見表達為所有這些函数的集合;並且這個集合的每一函數都合法地對應於一種確定主體意見的方法,這種方法通常与區間值概率指派相吻合,但并非一定如此。例如,傑弗裏在他的《概率與判斷的藝術》(1992)和萊維(Levi)在他的《知識的冒險精神》(1980)中都持這一觀點。庫普曼在他的《概率基礎》(1980)提出了關於可能會被認為是這種區間終点的“上界”和“下界”概率的公理。沃利在《關於不精确概率的統計推理》(1991)一書中也提出了對不精確概率的擴展研究。
  完全抛棄數字概率與迄今為止所假定的“定量的”概率相對照,法恩在他的《概率論》中傾向於深入探討各種比較概率的理論,他通過形如“A至少像B那樣概然(A≥B)”的陳述來舉例說明这種概率。他提出了支配著“≥”的公理,並探討了比較概率能夠以科爾莫哥洛夫概率表达的條件。 免費論文下载中心 http://www.hi138.com 否定的概率和復數值概率迪拉克(Dirac)、威格納(Wigner)以及範曼(Feynman)等物理學家更激進地主張否定的概率。例如,範曼建議說,在一維標尺中粒子的漫射具有一個存在於給定位置和時間的概率,這个概率是由取否定值的一個量值給定的。然而,由於是取決於如何對概率作出解釋,人們實際上是想說,這種函數与概率函數有某種相似性,但是當它取否定值时,這種相似性就被沒有了。考克斯(Cox)在他的連續時間具有離散狀態的隨機過程理論中容許概率在復數中取值。繆肯漢姆(MückenhEim)在他的《對擴展概率的回顧》(1986)一書中也持同樣的看法。
拋棄正規化公理科爾莫哥洛夫的概率函數可以取的最大值是1,看起來是約定俗成的。然而,它具有一些非平凡的推理。與其他公理相配套,它确保概率函數至少取兩個不同的值,并且概率函數存在著一個最大值是非平凡的。實際上,雷伊(Re-nyi)在他的《概率的基礎》(1967)中完全拋棄了正規化假定,允許概率取“∞”值。還有一些作者放松了經典邏輯對概率的限制,容許邏輯的或必然的真理被指派小於1的概率——也許是因為他们認為邏輯的或數學的猜想可以或多或少充分地被確證。此外,科爾莫哥洛夫公理2涉及了經典邏輯隱含地假定的“重言式”概念。相反,非經典邏輯的擁護者也許想用他們青睐的“重言式”的“異常”概念(也許需要在公理化時在別的地方作相應的調整)。因此,構造主義者主張概率论建立在直覺主義邏辑的基礎之上。
  無窮概率科爾莫哥洛夫概率函數取實數值。許多哲學家,例如劉易斯和斯基爾姆等取消了這個假設,容許概率從分析的一个非標準模型的實數中取值。尤其是,他們容許概率是無窮的:正數但又小於每一(標准)實數。按照標準概率論,在無窮概率空間中的各種非空命題通常都會得到0概率,而這樣一來,這些命題被指派正的概率實质上就會被認為是不可能的(考慮隨機地選擇來自[0,1]區間的一個點)。而在不可數空間裏,正則概率函數不可避免要取無窮值。
  拋棄可數可加性科尔莫哥洛夫最有爭議的公理无疑就是連續性公理——例如,可數可加性的“无窮部分”也就是如此。他把它看作是使數學精致的一種理想化,而沒有任何經驗意义。德·芬內蒂在他的《概率、歸納與統計》(1972)一書中列舉了一組反駁這種观點的論證。其中一個具有代表性的論證是:可數可加性要求人们對事件的不可數劃分指派極端有偏的分布。實際上,對於任何δ>0,無論多麽小,都將存在着有窮數量的事件,這些事件具有至少1-δ組合概率,從而使所有的概率擁有最大的份額。
  拋棄有限可加性人們甚至提出了放棄有限可加性的各種概率論(所謂非可加性概率理論)。登普斯特-謝弗(Dempster-shafer)理論按照下列規則定義一個信念函數Bel(A):對於Ω的每一個子集A,Bel(A)就是A的子集的數之和。謝弗在《結構概率》(1981)中給出了這樣的解釋,假定主體將發現Ω上的某一命題,那麽Bel(A)就是主體將發現A的信念度。Bel(A)+Bel(-A)不一定等於1;實際上Bel(A)和Bel(-A)從函數角度看是相互獨立的,信念函數有許多與庫普曼的下界概率相同的形式性質。蒙金(Mongin)在《认知邏輯與非可加性概率理论間的一些聯系》(1994)中表明,認知模态邏輯與登普斯特-謝弗理論之間有著重要的聯系。  所謂“培根式概率”表示另一種背離概率演算的非可加性概率。一個合取式的培根式概率等於這個合取支概率的最小值。這種“概率”在形式上类似於模糊邏輯的隸屬函數。科恩在《可幾的與可證的》(1977)中認為它們對於測度歸納支持和評價法庭證據是恰當的。
  其他學者如傑拉答托(Ghirardato)的含混背離模型、沙克爾的潛在驚奇函數、杜波依斯(Dubois)和普拉德(Prade)的弗晰(fuzzy)概率理論、施梅德勒(SchmEIdler)和韋克爾(Wakker)分別提出的期望效用理論以及斯龐(Spohn)的非概率信念函數理論有助於我們进一步了解非可加性概率理論。而在傑拉答托的《不確定性的非可加性測度》(1993)和豪森《概率論》(1995)中有更多的討论。
  
  三、對非科爾莫哥洛夫概率理論的評析
  
  如上所述,虽然符合經典概率演算系統的概率邏輯(即帕斯卡概率邏輯)就其本身來說是正確的,但它的效力還不够大,於是人們自然期望對帕斯卡概率邏輯放松限制,這就導致了非科爾莫哥洛夫概率理論的出現。由於非科爾莫哥洛夫概率理論拋棄了科爾莫哥洛夫公理系統的某些部分,許多學者因而放棄了對科爾莫哥洛夫概率演算作出恰當解釋的追求。根據哈克的觀點,“如果一個系统與另一個系統有著共同的詞匯,但卻有一個不同的定理/有效推理的集合,那麽,這個系統就是對第一個系統的偏離;一種異常逻輯就是一個偏離了經典邏輯的系統”。陳波也認為,“变異邏輯就是由否定或修改经典邏輯的一個或多个假定而導致的系統,它們至少在某些定理上與經典邏輯不一致”。非科爾莫哥洛夫概率理論由於對經典概率演算系統的公設或公理進行了修改或放松了限制,因而是一種異常邏輯。
  具體地說,非科尔莫哥洛夫概率理論放松了帕斯卡概率邏輯對概率賦值與概率函數的限制或者否定了經典概率演算系統的某些部分。主要表現在:第一,經典概率演算系統只允許基本概率在[0,1]區間取值,而非科爾莫哥洛夫概率理論使概率的取值范圍擴大了,例如,他們認為概率值可以取否定和復数值,或者他們允許概率是無窮的;第二,他們認為經典概率演算的某些部分是不可接受的,因而他們拋棄了科爾莫哥洛夫公理系統的某些部分,比如拋棄西格馬子結構、拋棄精確概率、完全拋棄數學概率、拋棄正規化公理和拋棄可數可加性;第三,由於拋棄了科爾莫哥洛夫概率演算的有限可加性,因而經典概率演算系統中的正則性、明確性和有限可加性不再成立。科爾莫哥洛夫概率系統與非科爾莫哥洛夫概率理論的關系類似于經典邏輯與相幹邏輯或直覺主義逻輯的關系:因此可推斷出,非科爾莫哥洛夫概率理論是帕斯卡概率邏輯的變異。
  我們可以通過對沙克爾的潛在驚奇理論和柯恩的歸納支持和歸納概率分級句法理論的分析來說明非科爾莫哥洛夫概率理論是一種異常邏輯。沙克爾首先认識到:對於人文系統中的不确定試驗,一般來說不可能事先構造樣本空間Ω,于是他提出了第一個非帕斯卡概率理论——潛在驚奇理論來描述非分布式不確定性——即當事人不可能事先構造Ω時所面臨的不确定性。潛在驚奇理論是度量x关於某一假說的潛在驚奇值和潛在驚奇值運算規则的理論。因此,它是非帕斯卡概率的主觀主義解釋。潛在驚奇理论具有一系列不同於帕斯卡概率的特征:(1)非分布式不確定性度量定義在不完全樣本空間上;(2)在該样本空間中不存在必然事件;(3)任一屬於該樣本空間的事件h不發生時,~h並不必然發生,即帕斯卡概率論的互補律在此不成立。由於沙克爾的潜在驚奇理論否定了帕斯卡概率論的互補律,因而這一理論可以被看作是一種異常邏辑。
  柯恩在對培根和穆勒的排除歸納法研究的基础上,獨立地提出第二個非帕斯卡概率理論——歸納支持和歸納概率分級句法理論。柯恩繼承了培根思想中的恰當性方面並且揚棄了卡爾納普歸納邏輯不恰當的方面,柯恩歸納邏輯的主要特點是強調歸纳邏輯與自然科學和社會生活實際的緊密聯系,即註重歸納邏輯的恰當性和可应用性。他認為,歸纳邏輯的形式系統應與不完全理論系統相協調。因而,他以否定的非互補律取代了否定的互補律;在柯恩的系統中,排中律不成立;關于事實問題的非帕斯卡概率不具有可加性,而只能分等級;考慮到科學實際中假说h不能作為證據,他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。顯然,所有這些表明了柯恩的歸納邏輯是一種異常邏辑。柯恩系統在法庭證明領域、科學方法論的接受理论領域、科學說明領域、性向領域以及語法理論領域都能应用,因此表明了比經典概率演算系統具有更大的可行性。
  總而言之,從某種意義上说,非科爾莫哥洛夫概率理論實際上是帕斯卡概率邏輯的發展,因為非科爾莫哥洛夫概率理論是一些學者在帕斯卡概率的各種解釋遇到這样那樣困難的情況下提出來的。非科爾莫哥洛夫概率理論與經典概率演算系統之間雖然是競爭的,但它們可以同時存在,因為它們的支持者從他們各自不同的立場出發研究概率邏輯。
免費論文下載中心 http://www.hi138.com 否定的概率和復數值概率迪拉克(Dirac)、威格納(Wigner)以及範曼(Feynman)等物理學家更激進地主張否定的概率。例如,范曼建議說,在一維标尺中粒子的漫射具有一個存在於給定位置和時間的概率,这個概率是由取否定值的一個量值給定的。然而,由於是取决於如何對概率作出解釋,人們實際上是想說,這種函數與概率函數有某種相似性,但是當它取否定值時,這種相似性就被沒有了。考克斯(Cox)在他的連續時間具有离散狀態的隨機過程理論中容許概率在復數中取值。繆肯漢姆(MückenhEim)在他的《對擴展概率的回顧》(1986)一書中也持同樣的看法。
拋棄正規化公理科爾莫哥洛夫的概率函數可以取的最大值是1,看起來是約定俗成的。然而,它具有一些非平凡的推理。與其他公理相配套,它確保概率函數至少取兩个不同的值,並且概率函數存在著一个最大值是非平凡的。實際上,雷伊(Re-nyi)在他的《概率的基礎》(1967)中完全拋棄了正規化假定,允許概率取“∞”值。還有一些作者放松了經典邏輯對概率的限制,容許邏輯的或必然的真理被指派小於1的概率——也許是因為他們認為邏辑的或數學的猜想可以或多或少充分地被確證。此外,科爾莫哥洛夫公理2涉及了經典邏輯隱含地假定的“重言式”概念。相反,非經典邏輯的擁護者也許想用他們青睞的“重言式”的“異常”概念(也許需要在公理化時在別的地方作相應的調整)。因此,構造主義者主张概率論建立在直覺主义邏輯的基礎之上。
  無窮概率科爾莫哥洛夫概率函數取實數值。許多哲學家,例如劉易斯和斯基爾姆等取消了這個假設,容許概率從分析的一个非標準模型的實數中取值。尤其是,他們容許概率是無窮的:正數但又小於每一(標準)實數。按照標準概率論,在無窮概率空間中的各種非空命題通常都会得到0概率,而這樣一來,这些命題被指派正的概率实質上就會被認為是不可能的(考慮隨機地選擇來自[0,1]區間的一個點)。而在不可數空間裏,正则概率函數不可避免要取無窮值。
  拋棄可數可加性科爾莫哥洛夫最有爭議的公理無疑就是連續性公理——例如,可數可加性的“無窮部分”也就是如此。他把它看作是使數学精致的一種理想化,而没有任何經驗意義。德·芬內蒂在他的《概率、歸納與統计》(1972)一书中列舉了一組反駁這種觀點的论證。其中一個具有代表性的論证是:可數可加性要求人们對事件的不可數劃分指派極端有偏的分布。實際上,對於任何δ>0,無論多麽小,都将存在著有窮數量的事件,這些事件具有至少1-δ組合概率,從而使所有的概率擁有最大的份額。
  拋棄有限可加性人們甚至提出了放棄有限可加性的各种概率論(所謂非可加性概率理論)。登普斯特-謝弗(Dempster-shafer)理論按照下列規則定義一個信念函數Bel(A):對於Ω的每一個子集A,Bel(A)就是A的子集的數之和。謝弗在《結構概率》(1981)中給出了這樣的解釋,假定主體將發現Ω上的某一命題,那么Bel(A)就是主體將發現A的信念度。Bel(A)+Bel(-A)不一定等於1;實際上Bel(A)和Bel(-A)從函數角度看是相互獨立的,信念函數有許多與庫普曼的下界概率相同的形式性質。蒙金(Mongin)在《認知邏辑與非可加性概率理論間的一些聯系》(1994)中表明,认知模態邏輯與登普斯特-謝弗理論之間有著重要的聯系。  所謂“培根式概率”表示另一種背離概率演算的非可加性概率。一個合取式的培根式概率等於這個合取支概率的最小值。這種“概率”在形式上類似於模糊邏輯的隸属函數。科恩在《可幾的與可證的》(1977)中認为它們對於測度歸納支持和評價法庭證據是恰當的。
  其他学者如傑拉答托(Ghirardato)的含混背離模型、沙克爾的潛在驚奇函數、杜波依斯(Dubois)和普拉德(Prade)的弗晰(fuzzy)概率理論、施梅德勒(SchmEIdler)和韋克爾(Wakker)分別提出的期望效用理論以及斯龐(Spohn)的非概率信念函數理论有助於我們進一步了解非可加性概率理論。而在傑拉答托的《不確定性的非可加性測度》(1993)和豪森《概率論》(1995)中有更多的討論。
  
  三、對非科爾莫哥洛夫概率理論的評析
  
  如上所述,虽然符合經典概率演算系统的概率邏輯(即帕斯卡概率逻輯)就其本身來說是正確的,但它的效力還不夠大,於是人們自然期望对帕斯卡概率邏輯放松限制,這就導致了非科尔莫哥洛夫概率理論的出現。由於非科爾莫哥洛夫概率理論拋棄了科爾莫哥洛夫公理系統的某些部分,许多學者因而放棄了對科尔莫哥洛夫概率演算作出恰當解釋的追求。根據哈克的觀點,“如果一個系統與另一個系統有著共同的词匯,但卻有一個不同的定理/有效推理的集合,那麽,这個系統就是對第一個系統的偏离;一種異常邏輯就是一個偏离了經典邏輯的系統”。陳波也認為,“變異邏輯就是由否定或修改經典邏輯的一个或多個假定而導致的系統,它們至少在某些定理上與經典邏輯不一致”。非科爾莫哥洛夫概率理論由于對經典概率演算系统的公設或公理進行了修改或放松了限制,因而是一種異常邏輯。
  具體地說,非科爾莫哥洛夫概率理論放松了帕斯卡概率邏輯对概率賦值與概率函數的限制或者否定了經典概率演算系統的某些部分。主要表現在:第一,經典概率演算系統只允許基本概率在[0,1]區間取值,而非科爾莫哥洛夫概率理論使概率的取值範圍擴大了,例如,他們認為概率值可以取否定和复數值,或者他們允許概率是无窮的;第二,他們認為經典概率演算的某些部分是不可接受的,因而他們拋棄了科尔莫哥洛夫公理系統的某些部分,比如拋棄西格馬子結构、拋棄精確概率、完全拋棄數學概率、拋棄正規化公理和拋棄可數可加性;第三,由於抛棄了科爾莫哥洛夫概率演算的有限可加性,因而經典概率演算系統中的正則性、明確性和有限可加性不再成立。科爾莫哥洛夫概率系統與非科爾莫哥洛夫概率理论的關系類似於經典邏輯與相幹邏輯或直覺主義邏輯的關系:因此可推斷出,非科爾莫哥洛夫概率理论是帕斯卡概率邏輯的變異。
  我們可以通过對沙克爾的潛在驚奇理論和柯恩的歸納支持和歸納概率分級句法理論的分析來說明非科爾莫哥洛夫概率理論是一種異常邏輯。沙克爾首先認識到:對於人文系統中的不確定試驗,一般來說不可能事先構造樣本空間Ω,於是他提出了第一個非帕斯卡概率理論——潜在驚奇理論來描述非分布式不確定性——即當事人不可能事先構造Ω時所面臨的不確定性。潜在驚奇理論是度量x關于某一假說的潛在驚奇值和潛在驚奇值運算規則的理論。因此,它是非帕斯卡概率的主觀主義解釋。潛在驚奇理论具有一系列不同於帕斯卡概率的特征:(1)非分布式不確定性度量定義在不完全样本空間上;(2)在該樣本空間中不存在必然事件;(3)任一屬於該樣本空間的事件h不發生时,~h並不必然發生,即帕斯卡概率論的互補律在此不成立。由於沙克爾的潛在驚奇理論否定了帕斯卡概率論的互補律,因而這一理論可以被看作是一種異常邏輯。
  柯恩在對培根和穆勒的排除歸納法研究的基礎上,独立地提出第二個非帕斯卡概率理論——歸納支持和歸納概率分級句法理論。柯恩繼承了培根思想中的恰當性方面並且揚棄了卡尔納普歸納邏輯不恰當的方面,柯恩歸納邏輯的主要特点是強調歸納邏輯與自然科學和社會生活實际的緊密聯系,即註重归納邏輯的恰當性和可應用性。他認為,歸納邏輯的形式系统應與不完全理論系統相协調。因而,他以否定的非互补律取代了否定的互補律;在柯恩的系統中,排中律不成立;關於事實问題的非帕斯卡概率不具有可加性,而只能分等級;考慮到科學實際中假說h不能作為證據,他以特有的合取原理取代了合取乘法原理。顯然,所有這些表明了柯恩的歸納邏輯是一種異常逻輯。柯恩系統在法庭證明领域、科學方法論的接受理論領域、科學說明領域、性向領域以及語法理论領域都能應用,因此表明了比經典概率演算系统具有更大的可行性。
  总而言之,從某種意義上說,非科爾莫哥洛夫概率理論實際上是帕斯卡概率邏輯的發展,因為非科爾莫哥洛夫概率理論是一些學者在帕斯卡概率的各種解釋遇到這樣那樣困難的情況下提出來的。非科爾莫哥洛夫概率理論與經典概率演算系统之間雖然是競爭的,但它們可以同時存在,因為它們的支持者從他們各自不同的立場出發研究概率邏輯。
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